Растения пользуются математическими расчетами. Математические растения
| Малыгина Ирина Николаевна заместитель директора по НМР, учитель математики МАОУ СОШ № 43 г. Калининграда Известно ли вам, что математика – очень веселая наука? Ведь ее можно увидеть во всем, что нас окружает. Математическая викторина «О математике с улыбкой» убедит вас в этом!
Вопросы:
|
Математика в природе: примеры
Порой кажется, что наш мир прост и понятен. На самом деле это великая загадка Вселенной, сотворившей такую совершенную планету. А может, её создал тот, кто наверняка знает, что делает? Над этим вопросом трудятся величайшие умы современности.
Они каждый раз приходят к выводу, что невозможно сотворить все то, что мы имеем, без Высшего разума. Какая необыкновенная, сложная и в то же время простая и непосредственная наша планета Земля! Окружающий мир удивителен своими правилами, формами, красками.
Законы природы
Первое, на что можно обратить внимание на нашей огромной и удивительной планете, - это осевая симметрия. Она обнаруживается во всех формах окружающего мира, а также является основным принципом красоты, идеальности и пропорциональности. Это не что иное, как математика в природе.
Понятие "симметрия" означает гармонию, правильность. Это свойство окружающей действительности, систематизирующее фрагменты и превращающее их в единое целое. Ещё в древней Греции начали впервые замечать признаки этого закона. Например, Платон считал, что красота появляется исключительно вследствие симметрии и соразмерности. В действительности, если посмотреть на предметы пропорциональные, правильные и завершённые, то наше внутреннее состояние будет прекрасным.
Законы математики в живой и неживой природе
Давайте взглянем на любое существо, например самое совершенное - человека. Мы увидим строение тела, которое с обеих сторон выглядит одинаково. Ещё можно перечислять множество образцов, таких как насекомые, животные, морские обитатели, птицы. Каждый вид имеет свой окрас. 
Если присутствует какой-нибудь узор или рисунок, он, как известно, отражается зеркально относительно центровой линии. Все организмы созданы благодаря правилам мироздания. Такие математические закономерности прослеживаются и в неживой природе.
Если обращать внимание на все явления, такие как смерч, радуга, растения, снежинки, то можно обнаружить в них много общего. Относительно оси симметрии листок дерева делится пополам, и каждая часть будет отражением предыдущей. 
Еще если взять в качестве примера смерч, который возвышается вертикально и имеет вид воронки, то его тоже можно условно разделить на две абсолютно одинаковые половинки. Можно встретить явление симметрии в смене дня и ночи, времён года. Законы окружающего мира - это математика в природе, которая имеет свою совершенную систему. На неё опирается вся концепция создания Вселенной.
Радуга
Мы нечасто задумываемся над явлениями природы. Пошёл снег или дождь, выглянуло солнышко или грянул гром - привычное состояние меняющейся погоды. Рассмотрим разноцветную дугу, которую обычно можно обнаружить после выпадения осадков. Радуга в небе - удивительное явление природы, сопровождающееся видимым только человеческому глазу спектром всех цветов. Это случается за счёт прохождения лучей солнца через уходящую тучу. Каждая дождинка служит призмой, которая обладает оптическими свойствами. Можно сказать, что любая капля является маленькой радугой.
Проходя через водную преграду, лучи меняют свой изначальный цвет. Всякий поток света имеет определённую длину и оттенок. Поэтому наш глаз воспринимает радугу именно такой разноцветной. Заметим интересный факт, что это явление может лицезреть исключительно только человек. Потому что это всего лишь иллюзия.
Виды радуги
- Радуга, образовавшаяся от солнца, встречается наиболее часто. Она является самой яркой из всех разновидностей. Состоит из семи основных цветов: красного оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового. Но если разобрать в подробностях, оттенков намного больше, чем наш глаз может увидеть.
- Радуга, созданная луной, встречается в тёмное время суток. Считается, что её можно лицезреть всегда. Но, как показывает практика, в основном такое явление наблюдается только в дождливых местностях или около больших водопадов. Цвета лунной радуги очень тусклые. Их суждено рассмотреть лишь с помощью специальной техники. Но даже с ней наш глаз способен разобрать только полоску белого цвета.
- Радуга, появившаяся вследствие тумана, подобна широкой сияющей светлой арке. Иногда этот вид путают с предыдущим. Сверху цвет может быть оранжевым, снизу - иметь оттенок фиолетового. Солнечные лучи, проходя сквозь туман, образуют прекрасное явление природы.
- Огненная радуга в небе возникает крайне редко. Она не схожа с предыдущими видами своей горизонтальной формой. Лицезреть это явление можно только над перистыми облаками. Они, как правило, простираются на высоте 8-10 километров. Угол, под которым радуга покажет себя во всей красе, должен быть более 58 градусов. Цвета обычно остаются такими же, как в солнечной радуге.
Золотая пропорция (1,618)
Идеальную соразмерность чаще всего можно встретить в мире животных. Они награждены такой пропорцией, которая равна корню от соответствия числа PHI к единице. Это соотношение является связующим фактом всех животных на планете. Великие умы древности называли это число божественной пропорцией. Её ещё можно назвать золотым сечением. 
Этому правилу полностью соответствует гармоничность строения человека. Например, если определить расстояние между глазами и бровями, то оно будет равно божественной постоянной.
Золотое сечение - это пример того, сколь важна математика в природе, закону которой начали следовать дизайнеры, художники, архитекторы, создатели красивых и совершенных вещей. Они создают с помощью божественной постоянной свои творения, которые имеют сбалансированность, гармонию и на них приятно смотреть. Наш ум способен считать красивым те вещи, предметы, явления, где есть неравное соотношение частей. Пропорциональностью наш мозг называет именно золотое сечение.
Спираль ДНК
Как справедливо отметил немецкий учёный Гуго Вейль, корни симметрии пришли через математику. Многие отмечали совершенность геометрических фигур и обращали на них внимание. Например, пчелиные соты - это не что иное, как шестиугольник, сотворённый самой природой. Ещё можно обратить внимание на шишки ели, которые имеют цилиндрическую форму. Также в окружающем мире часто встречается спираль: рога крупного и мелкого скота, раковины моллюсков, молекулы ДНК.
Спираль ДНК сотворена по принципу золотого сечения. Она является связующим звеном между схемой материального тела и её реальным образом. А если рассмотреть мозг, то он представляет собой не что иное, как проводник между телом и разумом. Интеллект связывает жизнь и форму её проявления и позволяет жизни, заключённой в форме, познавать саму себя. С помощью этого человечеству достижимо понять окружающую планету, искать в ней закономерности, которые затем применять к изучению внутреннего мира.
Деление в природе
Митоз клетки состоит из четырёх фаз:
- Профаза. В ней увеличивается ядро. Проявляются хромосомы, которые начинают закручиваться в спираль и превращаться в свой обыкновенный вид. Формируется место для деления клетки. В конце фазы растворяется ядро и его оболочка, и хромосомы вытекают в цитоплазму. Это самый продолжительный этап деления.
- Метафаза. Здесь заканчивается закручивание в спираль хромосом, они образуют метафазную пластинку. Хроматиды располагаются противоположно друг другу, готовясь к делению. Между ними появляется место для рассоединения - веретено. На этом второй этап заканчивается.
- Анафаза. Хроматиды расходятся в противоположные стороны. Теперь в клетке имеется два набора хромосом за счёт их деления. Этот этап очень короткий.
- Телофаза. В каждой половинке клетки образуется ядро, внутри которого формируется ядрышко. Активно рассоединяется цитоплазма. Веретено постепенно исчезает.
Значение митоза
За счёт уникального способа деления, каждая последующая после размножения клетка имеет такой же состав генов, как её материнская. Состав хромосом обе клетки получают одинаковый. Здесь не обошлось без такой науки, как геометрия. Прогрессия в митозе имеет важное значение, так как по этому принципу размножаются все клетки.
Откуда берутся мутации
Этот процесс служит гарантией постоянного набора хромосом и генетических материалов в каждой клетке. За счёт митоза происходит развитие организма, размножение, регенерация. В случае нарушения деления клетки из-за действия каких-то ядов хромосомы могут не разойтись по своим половинкам, или в них, возможно, будут наблюдаться нарушения в строении. Это станет явным показателем начинающихся мутаций.
Подводя итоги
Что общего в математике и природе? На этот вопрос вы найдёте ответ в нашей статье. А если копнуть глубже, то нужно сказать, что с помощью изучения окружающего мира человек познаёт самого себя. Без Высшего разума, породившего все живое, не могло бы ничего быть. Природа находится исключительно в гармонии, в строгой последовательности своих законов. А возможно ли все это без разума?
Приведём высказывание учёного, философа, математика и физика Анри Пуанкаре, который, как никто другой, сможет дать ответ на вопрос о том, действительно ли математика в природе является основополагающей. Некоторым материалистам могут не понравиться такие рассуждения, но навряд ли они смогли бы их опровергнуть. Пуанкаре говорит, что гармония, которую человеческий разум хочет открыть в природе, не может существовать вне его. Объективная реальность, которая присутствует в умах хотя бы нескольких индивидов, может быть доступна всему человечеству. Связь, которая собирает воедино мыслительную деятельность, и называется гармонией мира. В последнее время на пути к такому процессу есть колоссальные продвижения, но они очень малы. Эти звенья, связывающие Вселенную и индивида, должны быть ценны любым человеческим умом, который чувствителен к этим процессам.
fb.ru
Растения пользуются математическими расчетами - Экологический дайджест FacePla.net
Математика – удивительная и интересная наука, которую многие люди считают слишком сложной для освоения, а потому скучной и неинтересной. Тем не менее, математикой пользуются существа, которых разумными назвать очень сложно. Например, аквариумные рыбки гуппи, о которых уже рассказывал наш журнал Facepla.net.
Более того, недавно британские ученые поведали миру о потрясающем открытии. Математическими расчетами пользуются растения! Математика позволяет им регулировать запасы питательных веществ в ночное время.
Обнаружив биологический пример сложных арифметических расчетов, исследователи из расположенного в Норидже, Великобритания независимого международного Центра Джона Иннеса (John Innes Centre ) были поражены. Как следует из опубликованного в журнале e-Life научного отчета, математические модели показывают, что количество крахмала, потребляемого растениями каждой ночью, рассчитывается ими исходя из наличия запаса. Возможно, подобные механизмы могут использовать птицы, рачительно расходуя жир во время миграций.
Свои способности в ходе экспериментов ученым демонстрировал скромный сорняк, родственник горчицы и капусты Arabidopsis или резушка. Растение-космонавт, рекордсмен Книги Гиннесса известно тем, что в 1982 году впервые зацвело на космической станции Салют-7 и дало жизнеспособные семена, пророщенные на Земле спустя 10 лет.
Как известно, ночью, когда нет солнечно света, растения потребляют запасенные ими углеводы, регулируя потребление таким образом, чтобы протянуть до рассвета. Эксперименты ученых из Центра Джона Иннеса показывают, что для точной корректировки потребления крахмала растения должны выполнять арифметическое действие - деление.
«Они в самом деле используют математику простым химическим способом, что удивительно», - рассказала руководитель исследования профессор Элисон Смит (Alison Smith). «Это действие из программы начальной школы, но все же они используют математику».
Чтобы определить, каким образом осуществляют расчеты растения, ученые применили методы математического моделирования.
В течение ночи некий механизм растения контролирует запас крахмала. Информация о времени поступает от внутренних биологических часов, наподобие тех, что есть у человека. По мнению исследователей, процесс связан с концентрацией двух видов молекул, названных S для крахмала и T для времени. Если S-молекулы стимулируют расход крахмала, то Т-молекулы, напротив, препятствуют этому. Таким образом, скорость процесса расходования питательного вещества задается соотношением молекул S и T, или S деленное на T.
«Это первый конкретный пример таких сложных арифметических подсчетов в биологии», - считает профессор математики Мартин Говард (Martin Howard) из Центра Джона Иннеса.
Ученые предполагают, что аналогичные механизмы могут использоваться животными, например птицами для контроля жировых запасов в ходе миграций или вынужденного бездействия во время высиживания яиц.
Комментируя исследование коллег, доктор Ричард Баггс (Richard Buggs) из лондонского Университета Королевы Марии (Queen Mary University of London) сказал: «Это не является доказательством наличия интеллекта у растений. Просто растения обладают механизмом для автоматического регулирования интенсивности потребления углеводов ночью. Растения не способны выполнять математические действия добровольно и с определенной целью, как это делаем мы».
По материалам BBC
www.facepla.net
L-Systems — математическая красота растений / Geektimes
В 1968г. Венгерский биолог и ботаник Аристид Линденмайер (Aristid Lindenmayer) предложил математическую модель для изучения развития простых многоклеточных организмов, которая позже была расширена и используется для моделирования сложных ветвящихся структур — разнообразных деревьев и цветов. Эта модель получила название Lindenmayer System, или просто L-System.
Для тех, кто в теме и не хочет все читать целиком, проскрольте вниз, есть вопрос. Я буду сокращать L-System до L в тексте.
Rewriting.
Основная идея L — постоянная перезапись (rewriting) элементов строки. О чем это? Вкратце, rewriting — это способ получения сложных объектов путем замены частей простого начального объекта по некоторым правилам. Классическим примером является снежинка. На рисунке initiator — это начальный объект, грани которого заменяются на generator. Далее с новым объектом проделывается то же самое. В данном случае обычный фрактал.
Возвращаясь к L и проводя аналогию с фракталами, можно сказать, что L оперирует со строкой символов по специальным правилам, начиная с первоначальной простой аксиомы. Люди, знакомые с понятием грамматики, сразу заметят, что по сути L ей и является. Но фундаментальное отличие L от формальных грамматик состоит в том, что правила применяются одновременно ко всей строке, к каждому символу, плюс, нет понятий терминальных и нетерминальных символов. То есть «вывод» по этой грамматике может продолжаться бесконечно. Одновременность применения правил очень быстро становится понятна, если учесть откуда пришла эта модель. В биологии каждая клетка растет, делится и развивается параллельно во времени. На следующей картинке видно соотношение между контекстносвободными (OL), контекстнозависимыми (IL) L и другими формальными грамматиками в иерархии Хомского.
Самые простые L-Systems.
Также, как и в классификации Хомского, L имеют и свою классификацию от простых до сложных и мощных.
Самым простым примером являются детерминированные контекстносвободные L или сокращенно DOL. Я не люблю формальные определения грамматик, так что скажу просто своими словами. Есть некоторый набор символов — алфавит. Этим алфавитом записывается строка, с которой работает L. Есть аксиома — первоначальная строка из одной или более буквы и набор правил вида a → ab. Во время каждой итерации алгоритма, применяя правило к букве из текущей строки, она (буква) заменяется на набор букв справа от стрелки. Проще рассмотреть конкретный пример развития многоклеточного организма Anabaena catenula, который изучал Линденмайер, когда он предложил модель L.
Пусть наш алфавит состоит из следующих символов, каждый из которых обозначает некоторую клетку: al ar bl br. Аксиома состоит из одного символа.ω: ar
И 4 правила.p1: ar → albr
p2: al → blar
p3: br → ar
p4: bl → al
Правила говорят какие символы меняются на какие в процессе роста организма. На картинке видно как применяя правила мы наблюдаем «деление» клеток и развитие.
Черепашья интерпретация строк.
Пока мы видели как нарисовать одномерную бактерию, но с помощью известного детского языка программирования LOGO, в котором предлагается управлять черепашкой и рисовать фигуры на экране, можно будет уже рисовать двумерные и трехмерные фракталы и повторяющиеся структуры. Как? Все просто. Берем алфавит, в котором каждый символ означает некоторую команду для двумерной или трехмерной черепашки:
- F — продвинуться вперед и нарисовать линию
- f — продвинуться вперед ничего не рисуя
- + — повернуть влево
- — — повернуть вправо
- & — повернуть вниз
- ^ — повернуть вверх
- \ — наклониться влево
- / — наклониться вправо
- | — развернуться на 180 градусов
Эти команды используют дефолтные значения угла поворота δ, длины шага и базисные векторы двумерного и трехмерного пространства. Примеры двумерных фракталов и порождающих их L можно увидеть на следующей картинке.
Растения и ветвящиеся структуры.
Все, что было до этого является, в общем-то, непрерывными кривыми. Разумеется, таким образом весьма трудно смоделировать растения с их ветвящейся топологией. Для этого в алфавит были добавлены символы [ и ], которые обозначают начало и конец ветвления соответственно. Когда черепашка встречает символ [, ее текущее состояние пишется в стек и вытаскивается оттуда при встрече символа ].
Уже такой простой грамматикой можно сгенерировать довольно интересные двумерные и трехмерные объекты похожие на деревья.
Более сложные грамматики.
Разумеется, наука не стояла на месте, и сейчас мы имеем солидную иерархию L начиная с простых DOL рассмотренных ранее.
Стохастические L.
Стохастические L добавляют возможность задания вероятности выполнения того или иного правила, и в общем случае не являются детерминированными, ибо разные правила могут иметь один и тот же символ слева. Это вносит некоторый элемент случайности в получающиеся структуры.
Контекстнозависимые L.
Также, как и контекстнозависимость в формальных граматиках, в L синтаксис правил усложняется и принимает во внимание окружение заменяемого символа.
Парамметрические L.
К каждому символу добавляется параметр-переменная (возможно не одна), которая позволяет, например указывать величину угла поворота для + и -, длину шага и толщину линии, проверять условия для применения правила, считать количество итераций и передавать «сигналы» вперед и назад. Пример парамметрической L.
ω : B(2)A(4, 4) p1 : A(x, y) :y <= 3 → A(x ∗ 2, x + y) p2 : A(x, y) :y > 3 → B(x)A(x/y, 0) p3 : B(x) :x < 1 → C p4 : B(x) :x >= 1 → B(x − 1)
Парамметрические контекстнозависимые L позволяют моделировать рост многоклеточных организмов и растений с учетом биохимических процессов и окружающей среды. Например, наша старая знакомая Anabaena catenula в более сложной форме. Пример из книжки [1].
Как написано в книге, данная бактерия состоит из двух видов клеток: вегетативные клетки и гетероцисты. Обычно, вегетативные клетки делятся на две подобные вегетативные клетки. Однако, в некоторых случаях вегетативные клетки превращаются в гетероцистов. Их распределение следует хорошо наблюдаемому шаблону, в котором соседние гетероцисты разделены примерно одинаковым числом вегетативных клеток. Но как же организм поддерживает постоянное расстояние между гетероцистами во время роста? Предложенная модель описывает этот феномен с точки зрения биологии. Предполагается, что расположение гетероцистов регулируется соединениями азота, производимые этими клетками, которые передаются в другие клетки организма и потребляются в вегетативных клетках. Если содержание этих соединений в молодй вегетативной клетке падает ниже определенного уровня, эта клетка превращается в гетероцист.
L-System ниже моделирует рост бактерии с учетом вышесказанного.
#define присваивает значения константам используемым в L. #include загружает форму гетероциста, в данном случае круг. Клетки представлены модулем F(s, t, c), где s — длина клетки, t — тип клетки (0 — гетероцист, 1 и 2 — вегетативные клетки), а c — концентрация азота.
#define CH 900 /* high concentration */ #define CT 0.4 /* concentration threshold */ #define ST 3.9 /* segment size threshold */ #include H /* heterocyst shape specification */ #ignore f ∼ H ω : -(90)F(0,0,CH)F(4,1,CH)F(0,0,CH) p1 : F(s,t,c) : t=1 & s>=6 → F(s/3*2,2,c)f(1)F(s/3,1,c) p2 : F(s,t,c) : t=2 & s>=6 → F(s/3,2,c)f(1)F(s/3*2,1,c) p3 : F(h,i,k) < F(s,t,c) > F(o,p,r) : s>ST|c>CT → F(s+.1,t,c+0.25*(k+r-3*c)) p4 : F(h,i,k) < F(s,t,c) > F(o,p,r) : !(s>ST|c>CT) → F(0,0,CH) ∼ H(1) p5 : H(s) : s<3 → H(s*1.1)
Гипножаба.
Вот, например, недавняя гипножаба, покорившая интернет, по сути является комбинацией простейших L.
#define R 1.456 ω : A(1) p1 : A(s) → F(s)[+A(s/R)][−A(s/R)]
Более advanced.
Это всего лишь поверхностное описание теории и небольшие примеры применения на практике. Что ждет любопытного исследователя дальше?
- Моделирование роста двумерных и трехмерных многоклеточных организмов
- Анимация роста организмов деревьев
- Моделирование влияния окружающей среды
- Моделирование химикобиологических процессов и growth functions
- Применение L для генерации поверхностей
- Другие разнообразные варианты использования, в том числе для моделирования недвижимости и городов
Примеры.
Использование.
Еще в конце 80х L использовались для визуализации моделей растений. Сейчас возможности компьютеров ушли далеко вперед. Многие игры и инструменты 3d моделирования используют процедурную генерацию контента, в том числе и L-Systems. Как видите, из набора простых правил можно получить огромное количество разных растений и засадить ими целые поля.
Из редакторов я сам пользуюсь L в Houdini, слышал, что есть плагины и для других пакетов. Так называемая Виртуальная Лаборатория позволяет экспериментировать и анимировать L.
Методы использования грамматик также используются в так называемых Shape Grammars, но об этом потом.
Некоторые посты в интернете.http://avalter.blogspot.com/2009/08/2d-l.html
Книги и дополнительный материал.
Вообще говоря, единственная доступная книга — это The Algorithmic Beauty of Plants. Также, по интернету разбросаны старые рандомные статьи. Более-менее новые можно найти на springerlink.com за кучу денег или в институтской библиотеке забесплатно.
Что сказать, материала довольно маловато.
Околобиологические мысли.
Я сам имею ровно никакое отношение к биологии, а являюсь Магистром Математики с небольшими невиными увлечениями. Но мне чрезвычайно нравится идея L-Systems. Простота с огромными возможностями. Когда-то давно я задумывался как же так в ДНК содержится полная информация обо мне. Как же можно в каждую клетку впихнуть всю информацию обо всех клетках? А никак, можно сказать, теория L открыла мне глаза! У меня в ДНК написано не как я выгляжу, а как меня собрать (общими словами). Что-то похожее на набор правил в L, только относящееся к синтезу протеинов.
Простая модель так четко описывает нашу с вами жизнь.
Дальше больше — превращаем правила в «ДНК» и генетическим алгоритмом выращиваем виртуальных многоклеточных.
Научные мысли.
Мне бы хотелось найти людей, которые тоже заинтересованы в научной составляющей L, поделиться материалами и статьями. Так уж получилось, что я сейчас работаю над апгрейженной концепцией L-Systems, но не имею возможности просмотреть что писалось по этой теме за последние пять лет. Не хочется изобретать велосипед.
Связаться с автором КНИГИ не удалось, автоответчик говорит, что он уехал на шабаш до января (8
Также, я ищу информацию по Shape Grammars для 3d моделирования. Есть задача генерировать из параметров космические корабли, ну знаете такие огромные штуковины с кучей мелких деталей — идеальные кандидаты для SG. Неужели придется писать плагин для Houdini на Python?
geektimes.com
РАСТЕНИЯ И МАТЕМАТИКА - Математика
РАСТЕНИЯ И МАТЕМАТИКА
Тема: «Растения и математика»
Цель урока:
Вызвать у учеников интерес к предмету.
Развивать память.
Воспитывать любовь к математике.
Урок игра.
Ход урока
“Учиться нелегко,
но интересно”
Я. Каменский
Задание 1. « Кто больше?».
Командам – участницам надо за две минуты написать как можно больше названий растений, в которых упоминаются числа.
Каждый правильный ответ оценивается – 1 балл.
Учитель дополняет ответы учеников (крапива двудомная, тысяче голов, солянка четырехугольная).
Задание 2. « Одна буква».
Команды получают одинаковые карточки, на которых записаны слова, используемые в математике. За одну минуту надо заменить в каждом слове одну букву так, чтобы можно было прочитать название растения.
Задание:
Два Лук
Луч Дуб
Куб Плющ
Плюс Лилия
Линия
Задание 3. « Угадай».
Каждая команда получает карточки с текстом загадок, в которых упоминаются числа. Выигрывает та команда, которая за три минуты отгадает правильно больше загадок.
- Этой бабке сто лет,
Горба у нее нет.
Высоконько торчит,
Далёконько глядит
Придет смерть за старушкой,
Станет бабка избушкой (сосна).
- Две сестрицы летом зелены,
К осени одна краснеет, другая чернеет.
(Красная и черная смородина).
- Семьдесят одежек, и все без застежек,
Кто на него взглянет, тот и заплачет.(лук)
- Есть один такой цветок, не вплетешь его в венок.
На него подуй слегка, был цветок – и нет цветка. (одуванчик)
- В нем почти сто метров роста; на него залезть не просто!
Из Австралии был он, к нам в Колхиду завезен.
У него одна работа – осушение болота. (эвкалипт)
- Выпускает он листы
Широченной широты.
Держатся на стеблях крепких;
Сто плодов шершавых, крепких:
Если их не обойдешь –
На себе их все найдешь. (репейник)
- Раскололся домик тесный
На две половинки,
И посыпались в ладони Бусинки дробинки. (горох)
- Одевался потеплей,
Одинокий Пантелей,
Сто одежек натянул,
Он на ярмарку спешил,
А в кармане пусто.
Пантелея мыши
Все зовут … (капустой)
- Развалились в беспорядке
На своей перине – грядке
Сто зеленых медвежат,
С сосками во рту лежат,
Беспрерывно сок сосут
И растут. (огурцы )
- Стоит Антошка
На одной ножке.
Где солнце станет,
Туда он глянет. (подсолнечник )
- Круглый дом
С зеленой крышей
С каждым днем
Круглей и выше,
Он без окон и дверей,
И живут в нем сто друзей,
Сто веселых карапузов,
И зовется дом…(арбузом)
- В огороде спрятан клад.
Откопать его я рад.
Оказалось под кустом
Семь больших подарков в нем.
Я на обед их съесть решил,
Почистил, а потом сварил.
Блюду дал остыть немножко.
«До чего ж вкусна …! (картошка)
- У чистотела есть сосед,
Хотя он сам и домосед,
А дети странствуют его,
Пятнадцать тысяч их!
- Ого!
Они летают с ветерком,
Махая белым хохолком.
Что за сорняк, скажи, растет?
- Его узнала я … (осот)
- Как это скучно –
Сто лет без движенья
В воду глядеть
На свое отраженье.
Свесила гибкие ветви с обрыва
Нежная, тихая, грустная … (ива)
Задание 4. « По цепочке».
В конкурсе участвуют по шесть человек с каждой команды. Участники каждой команды подбегают по очереди к доске, берут карточку и решают задачу, записывают ответ и возвращаются к команде. Выигрывает команда, которая быстрее решит шесть заданий и сделает это правильно.
1. Баобаб живет 4000 лет, а лиственница 400. Во сколько раз баобаб живет дольше лиственницы?
2. Высота кавказской пихты 60 м,
А высота сибирской пихты 30 м. Во сколько раз кавказская пихта выше сибирской?
3. Сосна может прожить 600 лет, ель вдвое больше, чем сосна, а дуб на 800 лет больше ели. Сколько лет может прожить дуб.
4. Ель может прожить 1200 лет, сосна – половину этого возраста, а рябина на 520 лет меньше, чем сосна. Сколько лет живет рябина?
5. Береза прожила 50 лет, что составило пятую часть продолжительности ее жизни. Какова продолжительность жизни березы?
6. Осина за день поглощает 66 литров воды, а береза 60 литров. На сколько литров воды больше ежедневно поглощает осина, чем береза?
Задание 5. « Знаете ли вы?».
Учитель задает командам вопросы. Выигрывает та команда, которая даст быстрее правильный ответ.
- У какого растения на земле самый маленький цветок? (у ряски)
- Где растут деревья с прямоугольными стволами? (в Панаме)
- Каково самое продолжительное время жизни цветка? Назовите растение. (80 дней живет цветок орхидеи)
- У какого растения самая короткая жизнь цветков? Сколько они цветут? (У лотоса. Его нежные желтые цветы распускаются на рассвете и через полчаса увядают)
- У какого растения самые крупные плоды? Какова их длина и вес? (У сейшельской пальмы. Ее орехи до 50 см длиной и весом до 30 кг)
- Назовите самую высокую в мире траву. Какова ее высота? ( Банан, высотой до 15 м)
- Какое самое толстое дерево? Какова его толщина? (Баобаб, ствол достигает 50 м в окружности)
- Назовите самое быстро растущее на Земле растение. Какова скорость роста? (Бамбук, до 1 м за сутки)
- Какие самые древние цветы, известные людям? Когда и где о них упоминалось? (Хризантемы. 2,5 тысячи лет назад)
multiurok.ru
Растения пользуются математическими расчетами - Экологический дайджест FacePla.net
Математика – удивительная и интересная наука, которую многие люди считают слишком сложной для освоения, а потому скучной и неинтересной. Тем не менее, математикой пользуются существа, которых разумными назвать очень сложно. Например, аквариумные рыбки гуппи, о которых уже рассказывал наш журнал Facepla.net.
Более того, недавно британские ученые поведали миру о потрясающем открытии. Математическими расчетами пользуются растения! Математика позволяет им регулировать запасы питательных веществ в ночное время.
Обнаружив биологический пример сложных арифметических расчетов, исследователи из расположенного в Норидже, Великобритания независимого международного Центра Джона Иннеса (John Innes Centre ) были поражены. Как следует из опубликованного в журнале e-Life научного отчета, математические модели показывают, что количество крахмала, потребляемого растениями каждой ночью, рассчитывается ими исходя из наличия запаса. Возможно, подобные механизмы могут использовать птицы, рачительно расходуя жир во время миграций.
Свои способности в ходе экспериментов ученым демонстрировал скромный сорняк, родственник горчицы и капусты Arabidopsis или резушка. Растение-космонавт, рекордсмен Книги Гиннесса известно тем, что в 1982 году впервые зацвело на космической станции Салют-7 и дало жизнеспособные семена, пророщенные на Земле спустя 10 лет.
Как известно, ночью, когда нет солнечно света, растения потребляют запасенные ими углеводы, регулируя потребление таким образом, чтобы протянуть до рассвета. Эксперименты ученых из Центра Джона Иннеса показывают, что для точной корректировки потребления крахмала растения должны выполнять арифметическое действие - деление.
«Они в самом деле используют математику простым химическим способом, что удивительно», - рассказала руководитель исследования профессор Элисон Смит (Alison Smith). «Это действие из программы начальной школы, но все же они используют математику».
Чтобы определить, каким образом осуществляют расчеты растения, ученые применили методы математического моделирования.
В течение ночи некий механизм растения контролирует запас крахмала. Информация о времени поступает от внутренних биологических часов, наподобие тех, что есть у человека. По мнению исследователей, процесс связан с концентрацией двух видов молекул, названных S для крахмала и T для времени. Если S-молекулы стимулируют расход крахмала, то Т-молекулы, напротив, препятствуют этому. Таким образом, скорость процесса расходования питательного вещества задается соотношением молекул S и T, или S деленное на T.
«Это первый конкретный пример таких сложных арифметических подсчетов в биологии», - считает профессор математики Мартин Говард (Martin Howard) из Центра Джона Иннеса.
Ученые предполагают, что аналогичные механизмы могут использоваться животными, например птицами для контроля жировых запасов в ходе миграций или вынужденного бездействия во время высиживания яиц.
Комментируя исследование коллег, доктор Ричард Баггс (Richard Buggs) из лондонского Университета Королевы Марии (Queen Mary University of London) сказал: «Это не является доказательством наличия интеллекта у растений. Просто растения обладают механизмом для автоматического регулирования интенсивности потребления углеводов ночью. Растения не способны выполнять математические действия добровольно и с определенной целью, как это делаем мы».
По материалам BBC
www.facepla.net
МАТЕМАТИКА И РАСТЕНИЯ - PDF
Транскрипт
1 МАТЕМАТИКА И РАСТЕНИЯ Исконное значение слова «математика» (от греческого знание, наука) не утрачено и сегодня. Математика была и остается стержнем любой науки, царицей всех наук, символом мудрости. Гармония, симметрия, пропорция, ритм слагаемые прекрасного. Человек во внешнем мире ищет упорядоченность и воспринимает порядок как красоту. Там, где есть порядок, там есть и математика. Можно сказать, что математика есть язык порядка. Математика дает необычайно компактный бесконечно емкий способ выражения научных истин. Десятки страниц научного текста вмещает в себе простая с виду математическая формула. И в этом ее утонченная красота и изящество. Итак, пожелавши, чтобы все было хорошо и ничто по возможности не было дурно, Бог позаботился обо всех видимых вещах, которые пребывали не в покое, но в нестройном и беспорядочном движении; он привел их из беспорядка в порядок, полагая, что второе, безусловно, лучше первого. Платон Всевышний, подобно самому обычному математику или дизайнеру, вынужден был вооружиться если не точной вычислительной техникой, то, по крайней мере, калькулятором. Смех, да и только! а вот приглядитесь к удивительной симметрии и структуре окружающего нас растительного мира, и вы поймете, что шутка эта не так уж и абсурдна. Возьмем, к примеру, соцветие подсолнечника. В нем можно заметить множество перекрещивающихся кривых, близких к дугам логарифмических спиралей. Впервые о логарифмической спирали говорится в одном из писем Рене Декарта в 1683 г. Увидеть ее можно также в завитках раковины. Одно из примечательных свойств логарифмической спирали состоит в том, что произвольный луч, выходящий из ее полюса, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Таких спиралей может быть очень много, однако общее количество всегда определенно и в зависимости от вида растения их может быть 34 по часовой стрелке и 55 против, или же соответственно 55 и 89 или 89 и 114. У ананаса 8 спиралей закручены в одну сторону и 5 или 13 в другую. В следующий раз, отправившись в овощной магазин, внимательно взгляните на кочан капусты, соцветие брокколи или головку артишока, и вы опять увидите спирали. Это уж совсем интересно!
2 А теперь займемся арифметикой 8 спиралей в плоде ананаса в одну сторону, 5 в другую, в сумме это дает 13. А если у ананаса соответственно 8 и 13 спиралей, то вместе это составит 21. Расположим эти числа в возрастающем порядке, и у нас получится цепочка 5, 8, 13 и 21 не что иное, как последовательность из так называемого ряда Фибоначчи, впервые описанного выдающимся средневековым итальянским математиком Леонардо Пизанским (Фибоначчи). В этом ряду каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114 и так далее. Вернемся к нашему примеру с подсолнечником количество спиралей, закрученных по и против часовой стрелки и на этот раз соответствует элементам числам ряда Фибоначчи ( ). Практически все соцветья и плотно упакованные ботанические структуры (сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечников и многие другие) также строго следуют числам Фибоначчи. Кроме логарифмической спирали есть еще много интересных кривых 2 го порядка, повторение силуэта которых можно встретить в природе. Известная кривая кардиоида, она обычно не рассматривается в школьном курсе математики, но она такая необычная. Тем более название происходит от слова сердце, и она действительно на сердце похожа. Нарисовать эту кривую просто: возьмите два равных кружочка, вырезанных из фанеры (можно взять две одинаковые монеты). Один из этих кружочков закрепите. Второй приложите к первому, отметьте на краю его точку A, наиболее удаленную от центра первого кружка. Затем катите без скольжения подвижный кружочек по неподвижному и наблюдайте, какую линию опишет точка A. Так и получается кардиоида. В технике эта кривая часто используется для устройства кулачковых механизмов. А в природе ее тоже можно найти в грибную пору. На фотографии перезревший серый мухомор.
3 Синусоида - эта кривая лучше известна школьникам как график функции. Также эту функцию изучают на уроках физики как иллюстрацию колебательных процессов. Но, видимо, колебательные процессы встречаются и в мире живой природы. Поэтому, присмотритесь в лесу к деревьям и кустарникам. Вы обязательно найдете синусоидальные сосны, ветки кустов, рисунки на крыльях некоторых насекомых. Периодические процессы природе не чужды. Также в природе можно найти и циклоиду, и лемнискату, и циссоиду. Розы Гвидо Гранди радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гвидо Гранди описывается уравнением в полярных координатах r=a*sin kⱷ. Математический цветник Гвидо Гранди прекрасно иллюстрируется полевыми цветами средней полосы. Замечательным объектом для наблюдения геометрических закономерностей является паутинка. Особенно если вам повезло, и вы видите на ней капельки росы. Паутинка становится более заметной, и вы можете разглядеть прямые линии, которые являются радиусами концентрических окружностей. Провисающая одинокая паутина демонстрирует знаменитую цепную линию. В особых случаях в паутине вы можете разглядеть и треугольники. На уроках
4 физике по этой фотографии вы можете задать вопросы: почему на паутине образуется роса? Почему роса всегда бывает в форме шариков? Почему капельки росы переливаются на солнце? Какие после этого могут быть сомнения в том, что Всевышний по профессии математик! Правда, одновременно он и гениальный художник, созданная им природа не только рациональна, но и прекрасна. А в основе красоты опять же лежит пропорция. Вероятно, вам приходилось слышать термин «золотое сечение» - результат разделения объекта на 2 части таким образом, что меньшая будет относиться к большей так, как большая ко всему объекту. Именно объекты, содержащие в себе золотое сечение, радуют глаз и воспринимаются нами как наиболее гармоничные. Упрощенно это соотношение можно представить как линию длиной 1,618 см, разбитую на 2 отрезка 1 см и 0,618. Величина 1,618 и есть формула золотого сечения. А теперь разделите несколько пар соседних чисел из последовательности Фибоначчи (к примеру, 21:13, 89:55, 144:89), и вы заметите (особенно с ростом последовательности), что соотношение всегда будет или 1,618 или близко к этой величине. Таким образом, оказывается, что золотая пропорция заложена и в последовательности Фибоначчи, в результате чего отражающие ее растительные структуры соответствуют законам красоты и гармонии. У большинства растений цветки и листья образуются из растущей верхушки (меристемы), по кругу перемещаясь от нее по мере роста структуры. Каждый новый зачаток (примордия) появляется из центра и растет под углом от полного оборота по отношению к предыдущему образованию, в результате чего возникают спирали, при этом новые зачатки появляются над старыми, последние остаются внизу спирали, а самая новая примордия оказывается в верхней точке роста структуры. Компьютерная визуализация этой модели развития показывает, что спираль образуется только в том случае, если угол между каждым новым образованием будет с высокой точностью соответствовать величине 137,5. Отклонение от этого угла лишь на одну десятую градуса мгновенно разрушит всю спиралевидную структуру. Если мы разделим полный круг (365 ) в золотой пропорции, то в результате получатся два угла 222,5 и 137,5. И, наконец, главный вопрос почему? Почему последовательность Фибоначчи и пропорция золотого сечения так настойчиво проявляются в природе? Впрочем, ни одно правило не обходится без исключений, существует так называемая «аномальная» группа растений с цветками, количество лепестков в которых равно 4, 7, 11, 18 или удвоенным числам Фибоначчи.
5 Примордии рождаются из меристемы в виде одноклеточных зачатков, при этом их положение относительно окружающих клеток определяет, чем они станут в будущем листьями, цветками или иными органами растительной структуры. Каждая новая примордия появляется там, где промежуток между уже образовавшимися зачатками наибольший, в результате чего для успешного роста ей будет достаточно минимальной энергии. Для примера рассмотрим рост листьев на ветке. Каждый новый лист на кончике ветки получает солнечный свет, однако при этом желательно, чтобы он как можно меньше затенял предыдущие листья. Если листья располагаются на ветке по спирали в соответствии с пропорцией золотого сечения, под углом 137,5, то в этом случае солнечный свет используется ими максимально. Поскольку закон сохранения энергии один из фундаментальных в живой природе, то в своем развитии растения попросту выбирают путь наименьшего сопротивления, спиральная структура дает им явное эволюционное преимущество, а красота и элегантность достигаемого при этом визуального эффекта настоящий гимн природе, которая всегда находит наиболее экономичное решение для любой проблемы. Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашѐл более простое механическое объяснение феномену. В своей работе Эллой использовал простой механический подход. Он рассмотрел дерево как фрактал (фигуру, обладающую некоторой степенью самоподобия), причем каждая ветка моделировалась как балка со свободным концом. В этих предположениях (а также при условии постоянства по времени вероятности слома ветки под воздействием ветра) оказалось, что закон Леонардо минимализирует вероятность того, что ветки дерева сломаются под напором ветра. Коллеги физика отметили, что его механическое объяснение обладает, в отличие от связанного со снабжением питательными веществами, "элегантностью и простотой". При этом они отмечают, что объяснение лежало на поверхности, однако до него никто раньше не додумался. Вы знаете, что расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер и это явление называется в ботанике "филлотаксисом". В явлении филлотаксиса используются более сложные понятия симметрии, в частности понятие "винтовая ось симметрии". Рассмотрим, например,
6 расположение листьев на стебле растения (Рис.1). Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии". Рисунок 1.Винтовая симметрия. Рисунок 2. Винтовые оси на стеблях растений. А теперь рассмотрим характерные "винтовые оси", которые возникают на стеблях растений (Рис.2). На Рис.2-а изображен стебель растения с винтовой осью симметрии третьего порядка. Проследим линию листорасположения на этом рисунке. Для того, чтобы перейти от листа 1 к листу 2, следует повернуть первый вокруг оси стебля на 120 против часовой стрелки (если смотреть снизу) и затем передвинуть листок 1 вдоль стебля по вертикали до тех пор, пока он не совместится с листком 2. Повторяя подобную операцию, перейдем от листа 2 к листу 3, а затем к листу 4. Обратим внимание на то, что листок 4 лежит над листком 1 (как бы повторяет его, но этажом выше) и что, идя от листа 1 к листу 4, мы трижды совершили поворот на угол 120, т.е. осуществили полный оборот вокруг оси стебля (120 * 3 = 360 ). Угол поворота винтовой оси у ботаников называется "углом расхождения листьев". Вертикальная прямая, соединяющая два листа, расположенные друг над другом на стебле, именуется "ортостихой". Отрезок 1-4 ортостихи соответствует полной трансляции винтовой оси. Как мы увидим далее, число оборотов вокруг оси стебля для перехода от нижнего листа к вышележащему, расположенному в точности над нижним (по ортостихе), может равняться не только единице, но и двум, трем и т.д. Это число оборотов называется "листовым циклом". В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем -
7 число листьев в этом цикле. В рассмотренном нами случае мы имеем винтовую ось типа 1/3. На Рис.2-б изображена пятерная винтовая ось симметрии с листовым циклом 2 (для перехода от листа 1 к листу 6 надо совершить два полных оборота). Дробь, характеризующая данную ось, равна 2/5; угол расхождения листьев составляет 144 (360 : 5 = 72 ; 72 * 2 = 144 ). Заметим, что существуют и более замысловатые оси, например, типа 3/8, 5/13 и т.д. Возникает вопрос, какими могут быть числа a и b, характеризующие винтовую ось типа a/b. И вот здесь Природа преподносит нам очередной сюрприз в виде так называемого "Закона филлотаксиса". Ботаники утверждают, что дроби, характеризующие винтовые оси растений, образуют строгую математическую последовательность, состоящую из отношений соседних чисел Фибоначчи, то есть: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34 Дроби в последовательности (1) образуются числами Фибоначчи, взятыми через одно число. Ботаники установили, что для различных растений характерны свои дроби филлотаксиса из последовательности (1). Например, дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 - осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 - груше, смородине, сливе; 3/8 - капусте, редьке, льну; 5/13 - ели, жасмину и т.д. Какова же "физическая" причина, лежащая в основе "законов филлотаксиса"? Ответ очень прост. Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению. Но не только растения, но и некоторые животные, например, змеи используют те же принципы в организации своих внешних форм. Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении лепестков на цветке розы и в разрезе яблока (пентаграмма), и в сосновой шишке, и в головке подсолнечника. И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам - и раскрыть и объяснить эти законы и есть главная задача человеческой науки. Это траектория передвижения беззубки, оставленная на песке в течение 3-х суток. Рассчитайте среднюю скорость движения этого моллюска.
8 Практическая часть Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=a(1+,. S= I=
docplayer.ru
